Filter Der Zweiten Ordnung

Signalverarbeitung / Digitale Filter Digitale Filter sind durch essenziell abgetastete Systeme. Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Abtastwerte mit gleichem Zeitabstand dargestellt. Finite Implulse Response (FIR) - Filter sind gekennzeichnet durch ein Zeitverhalten, das nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt: Sobald das Eingangssignal auf Null abgesunken ist, wird der Filterausgang nach einer bestimmten Anzahl von Abtastperioden das gleiche tun. Der Ausgang y (k) ist durch eine Linearkombination der letzten Eingangsabtastwerte x (k i) gegeben. Die Koeffizienten b (i) geben das Gewicht für die Kombination an. Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der Z-Domain-Filtertransferfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1: Bei linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um das mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter pocesses nur einen Zähler. Dies entspricht einem Nullfilter. FIR-Filter erfordern typischerweise hohe Ordnungen in der Größenordnung von einigen Hunderten. Somit benötigt die Wahl dieser Art von Filtern eine große Menge an Hardware oder CPU. Trotzdem ist ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen, die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, die in manchen Fällen eine Anforderung sein kann. Trotzdem hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit guter Phasenlinearität im Durchlaßband wie Bessel-Filter zu wählen. Oder ein Allpassfilter zu entwerfen, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter (MA) Edit Moving Average (MA) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: MA Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR Filtern. Durchschnittliche Filter Edit Ein Filter, der den Durchschnitt der N letzten Abtastwerte eines Signals berechnet. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch: Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters weist N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse auf. Die Null bei DC wird jedoch durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es eine größere Keule, die für das Filterdurchlassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter Edit Ein Kaskadiertes Integrator-Kammfilter (CIC) ist eine spezielle Technik zur Implementierung von Durchschnittsfiltern, die in Serie geschaltet werden. Die Serienplatzierung der mittleren Filter verstärkt den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N Durchschnittsfiltern, die jeweils den Durchschnitt von R M Abtastwerten berechnen. Seine Übertragungsfunktion ist folglich gegeben durch: CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder, anders ausgedrückt, ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz erneut abzutasten, wobei R 1 Abtastwerte aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wie viel von dem ersten Lappen durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N. Wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC herum. Die CIC-Struktur ermöglicht es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, wobei keine Multiplikatoren verwendet werden, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Eine Abwärtsabtastung mit dem Faktor R erlaubt die Erhöhung der Signalauflösung durch log 2 (R) (R) Bits. Kanonische Filter Bearbeiten Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie aktive Filter kanonische Strukturen zeigte sich diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten: eine kleine Änderung in Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich das Design von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung oder Leapfrog-Filtern verschoben. Kette der Sektionen zweiter Ordnung Edit Eine Sektion zweiter Ordnung. Oft als Biquad bezeichnet. Implementiert eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise einem Paar von Nullen zugeordnet sind. Wenn die Übertragungsfunktionen ordnungsgemäß ungerade sind, muss ein erster Ordnungsteil zur Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist dem realen Pol und dem realen Nullpunkt zugeordnet, falls einer vorhanden ist. Direct-Form 1 Direct-Form 2 Direct-Form 1 Transponierte Direct-Form 2 transponiert Das von der folgenden Abbildung transponierte Direct-Formular 2 ist besonders interessant in Bezug auf die benötigte Hardware sowie die Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitale Leapfrog-Filter Filterstruktur bearbeiten Digitale Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern. Der Anreiz für diese Wahl ist, von den ausgezeichneten Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der ursprünglichen Leiter-Schaltung zu erben. Das folgende 4. Ordnung allpolige Tiefpass-Leapfrogfilter kann als digitale Schaltung implementiert werden, indem die analogen Integratoren durch Akkumulator ersetzt werden. Das Ersetzen der Analogintegratoren durch Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Umwandlung zu z 1 s T. Die die beiden ersten Terme der Taylorreihe von z e x p (s T) sind. Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transferfunktion Edit Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filters kann wie folgt geschrieben werden: Aus dieser Gleichung kann man die A, B, C, D Matrizen schreiben als: Aus dieser Darstellung lassen sich Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab grafisch darstellen Den Frequenzgang des Filters oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. In dem digitalen Leapfrog-Filter stellen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion (Butterworth, Chebyshev.) Ein, während ihre Amplituden die Grenzfrequenz einstellen. Das Dividieren aller Koeffizienten um einen Faktor von zwei verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave (auch einen Faktor von zwei) nach unten. Ein spezieller Fall ist das Buterworth-Filter 3. Ordnung, das Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 1/2 und 1 aufweist. Dadurch kann dieses Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden, jedoch mit Verschiebungen. Autoregressive Filter (AR) Edit Autoregressive (AR) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: Wo u (n) die Ausgabe des Modells ist, ist x (n) die Eingabe des Modells und u (n - m) sind vorherige Abtastwerte des Modellausgangswertes. Diese Filter werden autoregressiv genannt, da die Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgabewerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch ein Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA Filter Edit Autoregressive Moving-Average Filter (ARMA) sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern. Der Ausgang des Filters ist als Linearkombination sowohl der gewichteten Eingangs - als auch der gewichteten Ausgangssamples gegeben: ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter mit beiden Pole und Nullen betrachtet werden. AR-Filter werden in vielen Fällen bevorzugt, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA - und ARMA-Prozesse hingegen können durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Abgriff-Gewichtungskoeffizienten a (einen Vektor von a (n), a (n - 1).) Einen Eingang von x (n) haben. Und eine Ausgabe von y (n). Können wir die yule-walker Gleichungen verwenden. Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist. Wir behandeln das Eingangsdatensignal als Zufallssignal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert ist, bis wir ihn erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen folgendermaßen ausdrücken: wobei R die Kreuzkorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist und r die Autokorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist: Varianzbearbeitung Wir können zeigen: Wir können die Eingangssignalabweichung als: , Expandiert und ersetzt r (0). Können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen: Exponentialfilter Diese Seite beschreibt die exponentielle Filterung, den einfachsten und beliebtesten Filter. Dies ist Teil des Abschnitts Filterung, der Teil eines Leitfadens zur Fehlererkennung und - diagnose ist. Überblick, Zeitkonstante und Analogäquivalent Der einfachste Filter ist der Exponentialfilter. Es hat nur einen Abstimmungsparameter (außer dem Probenintervall). Es erfordert die Speicherung nur einer Variablen - der vorherigen Ausgabe. Es ist ein IIR (autoregressive) Filter - die Auswirkungen einer Eingangsveränderung Zerfall exponentiell, bis die Grenzen der Displays oder Computer Arithmetik verstecken. In verschiedenen Disziplinen wird die Verwendung dieses Filters auch als 8220exponentielle Glättung8221 bezeichnet. In einigen Disziplinen wie der Investitionsanalyse wird der exponentielle Filter als 8220Exponential Weighted Moving Average8221 (EWMA) oder nur 8220Exponential Moving Average8221 (EMA) bezeichnet. Dies missbräuchlich die traditionelle ARMA 8220moving average8221 Terminologie der Zeitreihenanalyse, da es keinen Eingabehistorie gibt, der verwendet wird - nur die aktuelle Eingabe. Es ist das diskrete Zeit-Äquivalent der 8220 erster Ordnung lag8221, die üblicherweise in der analogen Modellierung von kontinuierlichen Zeitsteuerungssystemen verwendet wird. In elektrischen Schaltkreisen ist ein RC-Filter (Filter mit einem Widerstand und einem Kondensator) eine Verzögerung erster Ordnung. Bei der Betonung der Analogie zu analogen Schaltungen, ist der einzige Tuning-Parameter die 8220time constant8221, in der Regel als klein geschriebenen griechischen Buchstaben Tau () geschrieben. Tatsächlich entsprechen die Werte bei den diskreten Abtastzeiten genau der äquivalenten kontinuierlichen Zeitverzögerung mit der gleichen Zeitkonstante. Die Beziehung zwischen der digitalen Implementierung und der Zeitkonstante wird in den folgenden Gleichungen gezeigt. Exponentielle Filtergleichungen und Initialisierung Das Exponentialfilter ist eine gewichtete Kombination der vorherigen Schätzung (Ausgabe) mit den neuesten Eingangsdaten, wobei die Summe der Gewichtungen gleich 1 ist, so dass die Ausgabe mit dem Eingang im stationären Zustand übereinstimmt. Nach der bereits eingeführten Filternotation ist y (k) ay (k - 1) (1 - a) x (k) wobei x (k) die Roheingabe zum Zeitschritt ky (k) die gefilterte Ausgabe zum Zeitschritt ka ist Ist eine Konstante zwischen 0 und 1, normalerweise zwischen 0,8 und 0,99. (A-1) oder a wird manchmal die 8220-Glättungskonstante8221 genannt. Für Systeme mit einem festen Zeitschritt T zwischen Abtastwerten wird die Konstante 8220a8221 nur dann berechnet und gespeichert, wenn der Anwendungsentwickler einen neuen Wert der gewünschten Zeitkonstante angibt. Bei Systemen mit Datenabtastung in unregelmäßigen Abständen muss bei jedem Zeitschritt die exponentielle Funktion verwendet werden, wobei T die Zeit seit dem vorhergehenden Abtastwert ist. Der Filterausgang wird normalerweise initialisiert, um dem ersten Eingang zu entsprechen. Wenn die Zeitkonstante 0 nähert, geht a auf Null, so dass keine Filterung 8211 der Ausgang dem neuen Eingang entspricht. Da die Zeitkonstante sehr groß wird, werden Ansätze 1, so dass neue Eingabe fast ignoriert wird 8211 sehr starkes Filtern. Die obige Filtergleichung kann in folgendes Vorhersagekorrektor-Äquivalent umgeordnet werden: Diese Form macht deutlich, dass die variable Schätzung (Ausgabe des Filters) unverändert von der vorherigen Schätzung y (k-1) plus einem Korrekturterm basierend vorausgesagt wird Auf die unerwartete 8220innovation8221 - die Differenz zwischen dem neuen Eingang x (k) und der Vorhersage y (k-1). Diese Form ist auch das Ergebnis der Ableitung des Exponentialfilters als einfacher Spezialfall eines Kalman-Filters. Die die optimale Lösung für ein Schätzproblem mit einem bestimmten Satz von Annahmen ist. Schrittantwort Eine Möglichkeit, den Betrieb des Exponentialfilters zu visualisieren, besteht darin, sein Ansprechen über die Zeit auf eine Stufeneingabe aufzuzeichnen. Das heißt, beginnend mit dem Filtereingang und dem Ausgang bei 0 wird der Eingangswert plötzlich auf 1 geändert. Die resultierenden Werte sind nachstehend aufgetragen: In dem obigen Diagramm wird die Zeit durch die Filterzeitkonstante tau geteilt, so daß man leichter prognostizieren kann Die Ergebnisse für einen beliebigen Zeitraum, für jeden Wert der Filterzeitkonstante. Nach einer Zeit gleich der Zeitkonstante steigt der Filterausgang auf 63,21 seines Endwertes an. Nach einer Zeit gleich 2 Zeitkonstanten steigt der Wert auf 86,47 seines Endwertes an. Die Ausgänge nach Zeiten gleich 3,4 und 5 Zeitkonstanten sind jeweils 95,02, 98,17 bzw. 99,33 des Endwerts. Da der Filter linear ist, bedeutet dies, dass diese Prozentsätze für jede Größenordnung der Schrittänderung verwendet werden können, nicht nur für den hier verwendeten Wert 1. Obwohl die Stufenantwort in der Theorie aus praktischer Sicht eine unendliche Zeit in Anspruch nimmt, sollte man an den exponentiellen Filter 98 bis 99 8220done8221 denken, der nach einer Zeit gleich 4 bis 5 Filterzeitkonstanten reagiert. Variationen des Exponentialfilters Es gibt eine Variation des Exponentialfilters mit dem Namen 8220nonlinearem exponentiellem Filter8221 Weber, 1980. Es soll starkes Rauschen innerhalb einer bestimmten 8220typical8221 Amplitude filtern, reagiert aber schneller auf größere Änderungen. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley Teilen Sie diese Seite: